目前在磁介质存储器与主机之间的信息传输、计算机之间的通信以及网络通信等采用串行传送方式的领域中，广泛采用循环冗余校验码(Cyclic Redundancy Check, CRC)。循环冗余校验码是在 n 位有效信息位后拼接 k 位校验位构成的，它通过除法运算来建立有效信息和校验位之间的约定关系，是一种具有很强检错纠错能力的校验码。
一、基本原理
在传送过程中，发送方可以把M(x) - R(x)作为编好的校验码进行传送，接收方接收到编码后仍用原约定的多项式G(x)去除，如果能够整除，即余数为 0，则表示该校验码传送正确；如果不能够整除，即余数不为 0，则表示该校验码传送有误。
二、模2运算
根据式（2-16）可知，M(x) - R(x)是减法操作，可能需要涉及借位运算，难以用简单的拼装方法实现编码。为了回避借位，CRC码采用了模2运算。
所谓模2运算是指以按位模2加为基础的二进制四则运算。模2运算不考虑进位和借位。
1. 加减运算
加减运算本质上是异或运算，加不进位，减不退位。
2. 乘法运算
模2乘法就是在做乘法时按模2加的规则求部分积之和，计算时不进位。
3. 除法运算
模2除就是在做除法时按模2减求部分余数，计算时不借位。若部分余数（首次为被除数）最高位为1，则上商为1；若部分余数最高位为0，则上商为0。每求一位商后，使部分余数减少一位，即去掉部分余数的最高位，再继续求下一位商。当部分余数的位数小于除数位数时，该余数就是最后的余数。
三、CRC编码方法
在CRC码中，由 k 位有效信息位和 r 位校验信息构成的 k + r 位编码，称为（k+r, k）码。在上面的CRC中，由于 k = 4, k + r = 7，故称（7, 4）码。
四、CRC的检错与纠错
1. 检错
将接收到的CRC码用原约定的生成多项式G(x)做模2除，若得到的余数为0，表示接收到的信息中没有错误；若得到的余数不为0，则表示接收到的信息中某一位出错。
因为不同位出错对应的余数不同，所以根据余数值就可以确定出错的位置。
2. 纠错
以上图 G(x) = 1011 时出错为例。把余数001补0再除以 G(x) = 1011，得到的第二次余数为010，再补0除以1011，得到的余数为100，按此继续下去，可以发现得到的余数依次为011、110、111、101，最后又回到001，即各次余数会按表中的顺序反复循环，这就是循环码的来历。
根据循环码的这一特点，当接收到的CRC码与 G(x) 做模2除得到的余数不为0时，可以一边对余数补0继续做模2除，同时使被检测的CRC码循环左移，当出现余数101时，原来出错的位已移到A7的位置，通过异或门把它纠错（取反）后在下次移位时送回A1。将编码继续循环左移，移满一个循环后，就可得到一个纠错后的CRC码。
当位数增加时，循环冗余校验能有效地降低硬件成本，故得到广泛应用。
五、CRC编码的硬件实现
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